domingo, 2 de enero de 2011

El Teorema de Pitágoras en Babilonia

  Los números babilonios

Su escritura está basada en símbolos escritos en tablas de arcilla mojada cocidas al sol. Miles de estas tablillas han sobrevivido hasta nuestros días. Gracias a ello, se ha podido conocer, entre otras cosas, gran parte de las matemáticas babilónicas. El uso de una arcilla blanda condujo a la utilización de símbolos cuneiformes sin líneas curvas.  

 Es destacable las habilidades de los cálculos de los babilonios  mediante la construcción de tablas para ayudar a calcular.
De las tablillas babilónicas, unas 300 se relacionan con las matemáticas, unas 200 son tablas de varios tipos: de multiplicar, de recíprocos, de cuadrados, de cubos, etc.
 En geometría conocían el Teorema de Pitágoras y las propiedades de los triángulos semejantes; en álgebra hay problemas de segundo , tercero e incluso de cuarto grado. También resolvían sistemas de ecuaciones.
Los babilonios fueron los pioneros en el sistema de medición del tiempo; introdujeron el sistema sexagesimal y lo hicieron dividiendo el día en 24 horas, cada hora en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. Esta forma de contar ha sobrevivido hasta nuestros días.

Tablilla Plimpton
El sistema de numeración Babilónico tuvo una gran desventaja debido a la falta de un cero. Para poder interpretar números en los que se hallaba el cero, como el 3601, debía guiarse según el contexto en que éste se encontraba.
  Los textos cuneiformes matemáticos babilónicos permanecieron sin descifrar y sin interpretar hasta el trabajo pionero de Otto Neugebauer, quién escribió su obra Mathematische Keilsschrift-Texte (1935-37), y de François Thureau-Dangin en su obra Textes mathématiques Babyloniens en 1938. El logro más sobresaliente de las matemáticas babilónicas fue la invención de un sistema de numeración de base 60 y con valor posicional. 

Con un sistema de numeración posicional a su disposición, las operaciones aritméticas con los números babilónicos se desarrolla­rían siguiendo las mismas líneas de la moderna aritmética. Para aliviar  las dificultades de largos cálculos, los babilonios utilizaron  tablas matemáticas. Entre éstas se incluían tablas para calcu­lar inversos, cuadrados, cubos, raíces cuadradas y cúbicas, así como tablas de potencias e incluso tablas de valores de n2 + n3, de las que no existen equivalentes modernos. Estas tablas suponen una parte sustancial de las fuentes de las matemáticas babilónicas de que disponemos.


La multiplicación y la división se hacían en gran medida como las  hacemos hoy. La división se trataba como la multiplicación del dividendo por el inverso del divisor (obtenido a partir de una tabla de inversos). Tomemos un ejemplo:


EJEMPLO 1º. Dividir 1.029 entre 64 



Solución: En la notación de Neugebauer, 1.029 = 601(17) + 60°(9) se escribe como 17,9. También, 1/64 se convierte en 0;0,56,15 (ya que 1/64 = 60-2(56) + 60-3(15), sacados de una tabla de inversos). Por tanto,

17,9
multiplicado por 0;0,56,15 es igual a 16;4,41,15


La larga multiplicación se efectúa de la misma manera que lo haríamos hoy, aparte del uso de la base sexagesimal:

0; 0,56,15
       17, 9
------------------
8,26,15
15;56,15
------------------
      16; 4,41,15

La respuesta 16;4,41,15 se puede convertir, en base decimal, en:

16 + 60-1(4) + 60-2 (41)+603 -(15)  = 16,0781
Se disponía de un conjunto completo de tablas de multiplicación sexagesimal para cada número del 2 al 20, y para el 30, 40 y 50. Esto sería suficiente para efectuar todas las multiplicaciones sexagesimales posibles, exactamente igual que las actuales tablas de multiplicación para los números del 2 al 10 son suficientes para todos los productos decimales. Con frecuencia, las tablas de inversos sólo estaban dispo­nibles para aquellos números enteros «regulares» hasta 81 que son múltiplos de 2, 3 ó 5. Los inversos de los números «irregulares», o los que contienen números primos que no son factores de 60 (esto es, todos los números primos excepto 2, 3 y 5), habrían sido, en efecto, fracciones sexagesimales infinitas. Por ejemplo, los inversos de los números «regulares» 15, 40, y 81 son

1/15 = 0;4,  1/40 = 0;1,30,  1/81 = 0;0,44,26,40 Los inversos de los números «irregulares» 7 y 11 son

1/7 = 0;8,34,17,8,34,17,...,  1/11 = 0;5,27,16,21,49,...

Las tablas de los inversos encontrados en las tablillas más antiguas son todas de números «regulares», a excepción de 7. Hay una tablilla del período inmediatamente anterior al Imperio Antiguo babilónico, que contiene el problema siguiente:

EJEMPLO 2º.  Dividir 5,20,0,0, por 7
Solución sugerida: Multiplicar 5,20,0,0 por el inverso de 7 (esto es, 0;8,34,17,8) obteniéndose la respuesta: 45,42,51;22,40.
Una tablilla posterior del período seleúcida da los límites superior e inferior de la magnitud de 1/7 como

0;8,34,16,59 < 1/7 < 0;8,34,18

Enunciados como «aproximación dada, puesto que 7 no divide» de los primeros períodos, y las estimaciones posteriores de los límites, nos dan una visión tentadora de los babilonios dando los primeros pasos (aunque no está claro que fueran plenamente cons­cientes de sus implicaciones) para lidiar el problema de la inconmen­surabilidad de ciertos números.

Añado un  ejemplo babilónico de como el número babilónico 2, 27 al cuadrado es igual a  6, 0, 9 en cifras babilónicas.
2x60 + 27 = 147
1472 =  21609 
(60x60) x 6 + 0 x 60 + 9 = 3600 x 6 + 0 + 9 = 21609

  Un cálculo maestro de los babilonios
Existen pruebas de que los babilonios estaban preparados para calcular con números irracionales en una pequeña tablilla perte­neciente al Imperio Antiguo babilónico, que forma parte de la colec­ción de la Universidad de Yale. Contiene el diagrama que se muestra en la figura  siguiente «traducida» en la figura b.

El número 30 indica la longitud del lado del cuadrado. De los otros dos números, el superior (si suponemos que la «coma sexagesimal» (;) ocurre entre 1 y 24 es 1;24,51,10, que en notación decimal es
1 + 60- 1(24) + 60-2 (51) + 60-3(10)  = 1 + 0,4 + 0,01416667 + 0,0000463= 1,41421297

Para el mismo número de cifras decimales, la raíz cuadrada de 2 es 1,41421356, de modo que el cálculo babilónico es correcto hasta cinco cifras decimales. Se aprecia fácilmente que el número inferior es el producto de 30 (lado del cuadrado) y la raíz cuadrada calculada de 2.
La interpretación ahora está clara. Sea d la diagonal del cuadra­do; aplicando a continuación el teorema de Pitágoras, tenemos:
d2 = 302 + 302
d =      raiz2de 2  (30)  = (1;24,51,10)(30) = 42;25,35
El número debajo de la diagonal es, por consiguiente, la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado es 30.


La solución de este problema subraya dos importantes rasgos de las matemáticas babilónicas. En primer lugar, unos mil años antes de Pitágoras, los babilonios conocían y utilizaban el resultado que hoy lleva su nombre.   En segundo lugar, está la cuestión curiosa de cómo los babilonios llegaron a su notable cálculo de la raíz cuadrada de 2, un cálculo que aún estaría en uso dos mil años después de su descubri­miento cuando Tolomeo construyó su tabla de cuerdas.
Una conjetura es que el método que utilizaron los babilonios para extraer raíces cuadradas se asemeja al procedimiento iterativo que usan las modernas computadoras dígitales. 

La Máquina de Antikitera y sus relaciones

La Máquina de Antikitera

El mecanismo de Antiquitera es un artefacto mecánico primitivo. Fue descubierto en los restos de un naufragio cerca de la isla griega de Antikitera, entre Citera y Creta, y datada en el siglo II aC.


     Se trataría del primer mecanismo de engranajes conocido, y habría sido diseñado para seguir el movimiento de los cuerpos celestes. De acuerdo a las reconstrucciones realizadas, se trataría de un mecanismo que usa engranajes diferenciales, lo cual es sorprendente dado que los primeros casos conocidos previamente son del siglo XVI.  De esta manera se suele considerar como un  objeto que no corresponde a ese tiempo según nuestras suposiciones, y  que podría transformar nuestra percepción del mundo antiguo

     De acuerdo a los estudios iniciales llevados a cabo por Derek Price, historiador de la Universidad de Yale, el dispositivo era una computadora astronómica capaz de predecir las posiciones del Sol y de la Luna en el zodíaco, aunque estudios posteriores sugieren que el dispositivo era bastante más 'inteligente'.


    Otro equipo internacional ha desentrañado los secretos del mecanismo de este reloj astronómico de 2.000 años de antigüedad.
Mike Edmunds profesor de la Escuela de Física y Astronomía, y el Dr. Tony Freeth, matemático,  de la Universidad de Cardiff, dirigieron el equipo que estudió el funcionamiento del Mecanismo de Antikitera.   En el trabajo participaron el Museo Arqueológico Nacional de Atenas y las Universidades de Atenas y Tesalónica.


                Parece ser que, hace casi cien años, unos buzos exploraban un naufragio de una galera frente a la isla de Antikitera  en el mar Egeo. Además de  estatuas de mármol y bronce; ánforas,  jarrones y otras piezas, encontraron  ese pequeño objeto que apenas destacaba entonces y que hoy es el más importante de todos ellos.
  Comprendía una caja rota de madera y bronce  que albergaba más de 30 engranajes.   Arqueólogos y otros científicos han estado intentando reconstruirlo desde entonces.


    La nueva investigación sugiere que es mucho más sofisticado de lo que cualquiera había supuesto previamente.
El trabajo detallado realizado sobre los engranajes muestra que el mecanismo era capaz de seguir los movimientos astronómicos con notable precisión. La calculadora pudo reproducir los movimientos de la Luna y del Sol a través del Zodíaco, predecir eclipses, e incluso, recrear la órbita irregular de la luna. El equipo cree que también pudo haber predicho las posiciones de algunos planetas o incluso de todos los conocidos en la época.


Los resultados sugieren que la tecnología griega fue mucho más avanzada que lo estimado previamente.
El profesor Edmunds recalca la fascinación que la máquina ha ejercido sobre los científicos modernos. "Este dispositivo simplemente es extraordinario. Es algo único en su género. El diseño es  magnífico, sus cálculos astronómicos son de una precisión admirable. La manera en que fue diseñada la mecánica nos deja atónitos. Quienquiera que haya hecho esto, lo hizo sumamente bien".


El mecanismo consta de unas 80 piezas y se encuentra guardado en condiciones controladas con extremo cuidado en Atenas.   Recrear su funcionamiento fue un proceso difícil, e involucró a astrónomos, matemáticos, expertos en computación, analistas de escritura y expertos en conservación.
Los investigadores  parecen haber construido un modelo por ordenador del funcionamiento de la máquina y una réplica funcional. Por lo que se refiere a su valor histórico y a su carácter  extraordinario


    Hasta 1955 nadie quiso darse cuenta de que la pieza podía albergar un secreto que había esquivado el paso de  veinte siglos sumergidos en aguas del Mediterráneo. El arqueólogo Dereck de Solla Price fue el responsable  de desvelar la verdadera dimensión del  objeto.  Lo limpió y le extrajo las impurezas atrapadas por la agresiva acción del mar en el seno del Egeo y se encontró con lo que hoy es, sin ningún género de dudas, el mecanismo de relojería y astronómico más complejo de la antigüedad.


La máquina  es pequeña aunque sus detalles están trabajados  con gran precisión. Cuenta con una rueda dentada principal de 240 dientes, y otras cuarenta que armoniosamente engarzan entre sí. Todo el conjunto está unido sobre nueve escalas móviles y tres ejes. Y lo más inquietante, sorprendente y enigmático: la máquina ha sido troquelada sobre una única placa de bronce de dos milímetros de espesor.
 Este un reloj mecánico, astronómicamente perfecto y preciso que hasta  la época moderna no ha podido obtenerse una máquina similar

La conocida publicación científica Scientific American lo dijo en su momento: "Este hallazgo nos obliga a revisar nuestros conocimientos sobre la historia de la ciencia."

            Reconstrucción con "Lego"

Este artefacto está calificado por los expertos como un OOPART, acrónimo anglosajón que significa "Objeto fuera de su tiempo". De este modo se denominan aquellos restos arqueológicos que, por la tecnología empleada en confeccionarlos o por los conocimientos que de ellos se derivan, no encajan con la fecha en la que han sido datados
  

    El equipo de investigación también fue capaz de descifrar todos los nombres de los meses del año a pesar de la corrosión que en gran medida tenían los fragmentos del llamado Mecanismo de Antikitera, proporcionando la primera prueba concreta de que un régimen astronómico ideado por el astrónomo griego Gémino de Rodas fué puesto en práctica.
Desmenuzar los nombres de los meses fue "un logro realmente espectacular", dijo el historiador de ciencias François Charette, de la Universidad Ludwig Maximilians de Munich, Alemania, quien no participó en la investigación. Los historiadores "hasta ahora habían dudado de que este ordenador haya sido utilizado realmente en la vida civil, pero las pruebas del Mecanismo de Antikitera ahora demuestran que estaban equivocados", dijo.
La inclusión de los datos sobre los Juegos Olímpicos griegos en lo que ahora se llama el "Marcador Olímpico" del mecanismo, fue una sorpresa para los investigadores porque las fechas de los antiguos Juegos Olímpicos, que se celebraban cada 4 veranos, desde el 776 a.C. al 393 d.C., habría sido bien conocida por la población, así como las fechas de los modernos Juegos Olímpicos se conocen ahora.
"La inclusión del marcador olímpico dice más acerca de la importancia cultural de los Juegos que su avanzada tecnología", dijo Tony Freeth de Images First Ltd. en Londres, quien fue miembro del equipo de investigación que reportó los resultados en la revista Nature.
Se cree que esta máquina fue hecha alrededor del año 100 a.C. Su objetivo constituyó un misterio por más de 100 años a partir de su descubrimiento, pero en el 2006, los investigadores usaron una masiva máquina de tomografía de rayos X, similar a la utilizada para realizar tomografías computarizadas en seres humanos, para examinar los fragmentos de la antigua calculadora, los cuales se encontraban muy incrustados unos con otros.

 Estructura interna del mecanismo de Antikitera.

Los investigadores llegaron a la conclusión de que el dispositivo contenía originalmente 37 engranajes los cuales conformaban una computadora astronómica. Dos diales en la parte frontal muestran el zodíaco y un calendario de los días del año, que se puede ajustar para los años bisiestos. Punteros de metal muestran las posiciones en el zodíaco del sol, la luna y los cinco planetas conocidos en la antigüedad. Dos diales de espiral en la parte posterior del mecanismo muestran los ciclos de la luna, con los que se podían predecir los eclipses.


Utilizando computadoras más potentes para analizar los datos de las tomografías, Freeth, Edmunds y sus colegas, fueron capaces de descifrar los nombres de los 12 meses, así como la identificación de varios nombres de los juegos griegos. Los nombres de los meses indican que el dispositivo probablemente no era procedente de Rodas, como anteriormente se había pensado, posiblemente procede de Corinto o de una de sus colonias, como Siracusa - hogar del famoso astrónomo Arquímedes, quien vivió un siglo antes de que el dispositivo fuera hecho. Juzgando por siete de los nombres de los meses habría un posible vínculo con Siracusa.
El calendario o ciclo metónico que se había utilizado tenía meses de 30 días, con un día omitido cada 64 días para tener la longitud correcta del promedio de meses contenidos durante todo el ciclo metónico de 19 años. La clave para descubrir el marcador olímpico fue el descubrimiento de las palabras "Nemea", "Isthmia", "Pythia" y "Olympia". La primera referencia son los Juegos Nemeos, uno de los eventos que formaba parte de los Juegos Panhelénicos, que incluían los Juegos Istmicos, los Juegos Píticos  y  los Juegos Olímpicos.

 Tales de Mileto (624 a.C. - 546 a.C):  Predijo el eclipse solar del año 585 a.C., utilizando el Saros. 
La construcción de esta máquina nos dispone a estimar claramente la importancia que tenían los ciclos astronómicos entre los antiguos griegos. Los ciclos astronómicos que se han estimado como  de mayor importancia entre las culturas tradicionales, son los ciclos de eclipse o “Ciclos de Saros”. Este periódo me ha parecido ver expresado claramente en la iconografía de la Basílica del Pilar.


La dinámica de los eclipses es conocida desde la antigüedad, casi todas las sociedades los han observado y registrado, pero los cálculos de los caldeos de la antigua Mesopotamia es uno de los conocimientos que han perdurado y que la astronomía moderna todavía utiliza. 
Dicho cálculo ciclico temporal es el llamado “ Ciclo de Saros”. Por definición un saros son 223 meses sinódicos (periodo de una Luna nueva a la siguiente). Conocido desde hace miles de años, es una manera de predecir futuros eclipses.


Cada saros calcula la posición que la Tierra y la luna poseen luego de 6,585.32 días, es decir 18 años con 10 u 11 días. un período caldeo de 223 lunas.  En ese período de tiempo ambos cuerpos coinciden en un punto de su órbita llamado nodo y es ahí que se produce un eclipse. 
  De hecho el eclipse se repite exactamente igual una y otra vez cada 18 años,  el  único elemento cambiante lo produce la rotación terrestre, la cual hace que el eclipse se observe 120 grados más hacia el oeste. 
El ciclo Saros también calcula eclipses solares totales y anulares.  Cada ciclo saros posee 42 eclipses de sol y 42 eclipses de luna, de los cuales 14 son lunares parciales, 14 son apenas eclipses penumbrales y 14 eclipses totales.

  Relaciones

 La referencia que he apuntado entre estos "Ciclos de Saros"  y la Basílica del Pilar, está asentada en la constatación de la presencia del número 42, cifrada de diferentes formas entre la iconografía del templo. Para más información sobre este dato mirar: http://ahaba-abulafia.blogspot.com/2010/01/vestigios-taoistas-en-la-basilica-del.html

  
   En la Santa Capilla de la Basílica del Pilar está presente  Beda el Venerable (673-735) doctor de la Iglesia que estudió estos ciclos con interés. La cosmología de Beda está expuesta en su De Rerum Natura, y De Temporibus, tratado que nos interesa especialmente por citar los ciclos de Saros, relacionados con el número 42 y el calendario metónico, usado todavía por los judíos, en cuyo calendario, cada mes comienza en o cerca de la Luna. El interés principal que tuvo Beda por los ciclos solilunares de Saros, fue porque son determinantes en el cálculo de la fecha de Pascua.  Los astrónomos han ido intentando mejoras en la técnica de cálculo desde el comienzo del siglo VIII, cuando Beda creó su cronología y su «cálculo con los dedos».


Este ciclo de 42 eclipses está insinuado en la escritura sagrada. Más especialmente en el Apocalipsis y en Daniel.
 El número de Daniel es el 1260; cuatro veces el número cíclico de 315 años que el conocido astrónomo De Cheseaux había descubierto.  Según el redescubrimiento de este astrónomo, tras este ciclo de 315 años, el Sol y la Luna vuelven con una diferencia de 7 u 8 minutos de arco al mismo punto del ciclo de donde partieron.


  Siendo 315 una cuarta parte de 1260, De Cheseaux dedujo de ello que el período de 1.260 años debía ser también un ciclo luni-solar. En efecto, después de 1.260 años julianos, el Sol y la Luna vuelven, con una diferencia de medio grado, al mismo punto de la eclíptica.

De esta forma cualquiera que sea la significación intrínseca de la profecía de Daniel y otros textos bíblicos, los números que intervienen en ella corresponden a un ciclo astronómico extraordinariamente perfecto, y ese ciclo era presumiblemente conocido para los hebreos de la época.


Enlace a más información en la red: http://www.lapizarradeyuri.com/2011/03/05/el-mecanismo-de-anticitera/

Vídeos sobre esta máquina:


http://www.youtube.com/watch?v=RLPVCJjTNgk

http://www.youtube.com/watch?v=L1CuR29OajI

http://www.youtube.com/watch?v=MqhuAnySPZ0