El Teorema de Pitágoras en Babilonia

  Los números babilonios

Su escritura está basada en símbolos escritos en tablas de arcilla mojada cocidas al sol. Miles de estas tablillas han sobrevivido hasta nuestros días. Gracias a ello, se ha podido conocer, entre otras cosas, gran parte de las matemáticas babilónicas. El uso de una arcilla blanda condujo a la utilización de símbolos cuneiformes sin líneas curvas.  

 Es destacable las habilidades de los cálculos de los babilonios  mediante la construcción de tablas para ayudar a calcular.

De las tablillas babilónicas, unas 300 se relacionan con las matemáticas, unas 200 son tablas de varios tipos: de multiplicar, de recíprocos, de cuadrados, de cubos, etc.

 En geometría conocían el Teorema de Pitágoras y las propiedades de los triángulos semejantes; en álgebra hay problemas de segundo , tercero e incluso de cuarto grado. También resolvían sistemas de ecuaciones.

Los babilonios fueron los pioneros en el sistema de medición del tiempo; introdujeron el sistema sexagesimal y lo hicieron dividiendo el día en 24 horas, cada hora en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. Esta forma de contar ha sobrevivido hasta nuestros días.

Tablilla Plimpton

El sistema de numeración Babilónico tuvo una gran desventaja debido a la falta de un cero. Para poder interpretar números en los que se hallaba el cero, como el 3601, debía guiarse según el contexto en que éste se encontraba.

  Los textos cuneiformes matemáticos babilónicos permanecieron sin descifrar y sin interpretar hasta el trabajo pionero de Otto Neugebauer, quién escribió su obra Mathematische Keilsschrift-Texte (1935-37), y de François Thureau-Dangin en su obra Textes mathématiques Babyloniens en 1938. El logro más sobresaliente de las matemáticas babilónicas fue la invención de un sistema de numeración de base 60 y con valor posicional. 

Con un sistema de numeración posicional a su disposición, las operaciones aritméticas con los números babilónicos se desarrolla­rían siguiendo las mismas líneas de la moderna aritmética. Para aliviar  las dificultades de largos cálculos, los babilonios utilizaron  tablas matemáticas. Entre éstas se incluían tablas para calcu­lar inversos, cuadrados, cubos, raíces cuadradas y cúbicas, así como tablas de potencias e incluso tablas de valores de n² + n³, de las que no existen equivalentes modernos. Estas tablas suponen una parte sustancial de las fuentes de las matemáticas babilónicas de que disponemos.

La multiplicación y la división se hacían en gran medida como las  hacemos hoy. La división se trataba como la multiplicación del dividendo por el inverso del divisor (obtenido a partir de una tabla de inversos). Tomemos un ejemplo:

EJEMPLO 1º. Dividir 1.029 entre 64 

Solución: En la notación de Neugebauer, 1.029 = 601(17) + 60°(9) se escribe como 17,9. También, 1/64 se convierte en 0;0,56,15 (ya que 1/64 = 60-2(56) + 60-3(15), sacados de una tabla de inversos). Por tanto,

17,9 multiplicado por 0;0,56,15 es igual a 16;4,41,15

La larga multiplicación se efectúa de la misma manera que lo haríamos hoy, aparte del uso de la base sexagesimal:

0; 0,56,15

       17, 9

------------------

8,26,15

15;56,15

------------------

      16; 4,41,15

La respuesta 16;4,41,15 se puede convertir, en base decimal, en:

16 + 60^-1(4) + 60^-2 (41)+60^{3 -}(15)  = 16,0781

Se disponía de un conjunto completo de tablas de multiplicación sexagesimal para cada número del 2 al 20, y para el 30, 40 y 50. Esto sería suficiente para efectuar todas las multiplicaciones sexagesimales posibles, exactamente igual que las actuales tablas de multiplicación para los números del 2 al 10 son suficientes para todos los productos decimales. Con frecuencia, las tablas de inversos sólo estaban dispo­nibles para aquellos números enteros «regulares» hasta 81 que son múltiplos de 2, 3 ó 5. Los inversos de los números «irregulares», o los que contienen números primos que no son factores de 60 (esto es, todos los números primos excepto 2, 3 y 5), habrían sido, en efecto, fracciones sexagesimales infinitas. Por ejemplo, los inversos de los números «regulares» 15, 40, y 81 son

1/15 = 0;4,  1/40 = 0;1,30,  1/81 = 0;0,44,26,40 Los inversos de los números «irregulares» 7 y 11 son

1/7 = 0;8,34,17,8,34,17,...,  1/11 = 0;5,27,16,21,49,...

Las tablas de los inversos encontrados en las tablillas más antiguas son todas de números «regulares», a excepción de 7. Hay una tablilla del período inmediatamente anterior al Imperio Antiguo babilónico, que contiene el problema siguiente:

EJEMPLO 2º.  Dividir 5,20,0,0, por 7

Solución sugerida: Multiplicar 5,20,0,0 por el inverso de 7 (esto es, 0;8,34,17,8) obteniéndose la respuesta: 45,42,51;22,40.

Una tablilla posterior del período seleúcida da los límites superior e inferior de la magnitud de 1/7 como

0;8,34,16,59 < 1/7 < 0;8,34,18

Enunciados como «aproximación dada, puesto que 7 no divide» de los primeros períodos, y las estimaciones posteriores de los límites, nos dan una visión tentadora de los babilonios dando los primeros pasos (aunque no está claro que fueran plenamente cons­cientes de sus implicaciones) para lidiar el problema de la inconmen­surabilidad de ciertos números.

Añado un  ejemplo babilónico de como el número babilónico 2, 27 al cuadrado es igual a  6, 0, 9 en cifras babilónicas.

2x60 + 27 = 147

147² =  21609 

(60x60) x 6 + 0 x 60 + 9 = 3600 x 6 + 0 + 9 = 21609

  Un cálculo maestro de los babilonios

Existen pruebas de que los babilonios estaban preparados para calcular con números irracionales en una pequeña tablilla perte­neciente al Imperio Antiguo babilónico, que forma parte de la colec­ción de la Universidad de Yale. Contiene el diagrama que se muestra en la figura  siguiente «traducida» en la figura b.

El número 30 indica la longitud del lado del cuadrado. De los otros dos números, el superior (si suponemos que la «coma sexagesimal» (;) ocurre entre 1 y 24 es 1;24,51,10, que en notación decimal es

1 + 60^{- 1}(24) + 60^-2 (51) + 60^-3(10)  = 1 + 0,4 + 0,01416667 + 0,0000463= 1,41421297

Para el mismo número de cifras decimales, la raíz cuadrada de 2 es 1,41421356, de modo que el cálculo babilónico es correcto hasta cinco cifras decimales. Se aprecia fácilmente que el número inferior es el producto de 30 (lado del cuadrado) y la raíz cuadrada calculada de 2.

La interpretación ahora está clara. Sea d la diagonal del cuadra­do; aplicando a continuación el teorema de Pitágoras, tenemos:

d² = 30² + 30²

d =      raiz²de 2  (30)  = (1;24,51,10)(30) = 42;25,35

El número debajo de la diagonal es, por consiguiente, la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado es 30.

La solución de este problema subraya dos importantes rasgos de las matemáticas babilónicas. En primer lugar, unos mil años antes de Pitágoras, los babilonios conocían y utilizaban el resultado que hoy lleva su nombre.   En segundo lugar, está la cuestión curiosa de cómo los babilonios llegaron a su notable cálculo de la raíz cuadrada de 2, un cálculo que aún estaría en uso dos mil años después de su descubri­miento cuando Tolomeo construyó su tabla de cuerdas.

Una conjetura es que el método que utilizaron los babilonios para extraer raíces cuadradas se asemeja al procedimiento iterativo que usan las modernas computadoras dígitales.