Empaquetamiento de esferas y los números

Empaquetamiento de Esferas

Sir Walter Raleigh (1554-1618), aventurero y escritor inglés, fue un personaje singular, que participó en expediciones de piratería contra las posesiones españolas, fundó la primera colonia inglesa en Norteamérica, luchó contra la Armada Invencible española y buscó, infructuosamente, la fuente de la juventud en la legendaria ciudad de El Dorado.

W. Raleigh

 
 En el año 1585, en una expedición que partió del puerto de Plymouth rumbo a Virginia, con el objetivo de establecer allí esa primera colonia británica.  Sir Walter Raleigh acuciado por la falta de espacio en el barco, preguntó a su ayudante, el matemático y astrónomo Thomas Harriot, si conocía algún método sencillo para calcular cuántas balas de cañón se pueden apilar en la cubierta de un barco.

Thomas Harriot

La pregunta, en términos matemáticos sería: ¿Cuál es el empaquetamiento más denso posible para un conjunto de esferas?.

Harriot fue incapaz de encontrar una respuesta matemática y pasó la consulta al gran astrónomo alemán Johannes Kepler. Kepler, en 1611, le contestó, pero no en forma matemática, sino afirmando que al igual que los fruteros colocan sus frutas, la sabiduría centenaria indicaba que el sistema más adecuado era el del apilamiento en forma de pirámide, declarando que esta técnica de empaquetamiento era la más prieta, y ninguna otra forma de apilar perdigones en un contenedor permite empaquetar más. Esta afirmación acabó por ser conocida como la conjetura de Kepler, también conocida como empaquetamiento cúbico centrado en las caras.

J. Kepler

          Según la conjetura de Kepler, la densidad de un empaquetamiento de un conjunto de esferas nunca excede de un número máximo. Este, indudablemente, es un problema apasionante de resolver en nuestra era de la Información, ya que guarda relación con las soluciones para guardar información en discos compactos o para comprimir información que haya de ser transmitida posteriormente.

C. F. Gauss

 A este tema le dedicaron tiempo y reflexión el matemático Carl Friedrich Gauss, Laszlo Toth y más recientemente Thomas Hales. 

 el matemático húngaro László Fejes Tóth introdujo una novedad importante al dividir el volumen que ocupaba una distribución de esferas en las llamadas celdas de Voronoi. Es decir, le asignó a cada esfera de la distribución una región del espacio formada por los puntos que están más cerca del centro de esa esfera que de ninguna otra. Por ejemplo, en el caso de la red cúbica centrada, la celda de Voronoi resultó ser un dodecaedro rómbico. 

Thomas Hales, matemático de la Universidad de Pittsburgh, tras recurrir a potentes ordenadores y programas informáticos, anunció a sus colegas que tenía la prueba de la conjetura propuesta en 1611 por el astrónomo Johannes Keppler sobre el empaquetamiento de esferas.

T. Hales

      Este problema, tiene una apariencia simple, pero ha derrotado los esfuerzos de los matemáticos durante casi cuatro siglos.   La conjetura de Kepler era ya a comienzos del siglo XX lo suficientemente importante como para que David Hilbert la incluyera en su lista de los 23 grandes problemas por resolver.

Consideraciones sobre la estructura geométrica y la cualidad de sus números.

  En el empaquetamiento se esferas nos permite deducir sus implicaciones desde el punto de vista del simbolismo geométrico.

Así podemos corroborar que a una esfera le pueden rodear, como máximo, solo doce esferas tangentes a la misma. Este empaquetamiento, como hemos analizado, tiene la cualidad de ser el más perfecto desde el punto de vista geométrico. A su vez estas doce esferas tangentes a la esfera central son tangentes a una esfera que las circunscribe y que tiene un radio tres veces mayor.

Podemos suponer que esta estructura física y geométrica, está apoyada la composición sagrada de la Iglesia fundada sobre Jesucristo y sus doce apóstoles.

 Encontramos una semejanza en la tradición hebrea, pues dice que la palabra "amor" se dice Ahabah y la palabra para uno se dice "Ehad".   Es reconocido que el valor numérico de Ahabah, tanto como de Ehad es 13. De tal manera que  y si sumamos los valores de estas dos palabras que definen a Dios como Único y como Amor nos resultará el número 26 que
corresponde al valor numérico de Jehovah.

Si observamos las operaciones que aparecen en el dibujo podemos ver que el espacio entre la esfera central y la esfera que circunscribe a las doce tangentes a esta, responde al valor de 26 si tomamos como unidad de medida el volumen de la central.

Se podría decir que Cristo corresponde a la esfera central, que toma contacto con doce esferas y estas doce a su vez toman contacto con otra que las circunscribe, y que tiene un radio tres veces mayor.

En los comentarios sobre el "Cantar de los Cantares", traducido por Mario Satz, este comenta que la palabra racimo o "eskhol" estaba relacionada con la idea fraternidad y la fidelidad del grupo, además de significar "fuego de la totalidad".

Es decir, una pluralidad que necesita ser estrujada para devenir uno. De
alguna manera el racimo geométrico más perfecto que rodea a la "uva" o
esfera central es el formado por las que la circunscriben.

Si continuamos añadiendo esferas a estas 12, conservando el orden y permitiendo que mantengan la propiedad de tangencialidad a estas 12 esferas, podemos comprobar que la tercera capa de esferas es la formada por 42 esferas.

Es curioso constatar esta propiedad geométrica del número 42 representado de diferentes formas en La Basílica del Pilar de Zaragoza, de alguna manera tiene unas propiedades geométricas que lo hacen excepcional.

       En el dibujo adjunto se puede ver una figura geométrica que cuantifica las 42 esferas de un empaquetamiento perfecto de las mismas

Otro comentario adicional es que el número 26, que corresponde al valor numérico de Jehovah, tiene la propiedad única entre todos los números de estar entre un número cúbico como el 27, que es tres al cubo, y un número cuadrado como el 25, que es cinco al cuadrado. Este descubrimiento lo hizo Fermat, que dijo textualmente.."El número 26 es un número único en todo el universo matemático"

Fermat 

Para interpretar geométricamente la teoría kabalística de Isaac Luria, este diagrama parece idóneo. Este autor  introdujo un nuevo elemento a la noción del Abismo con su nuevo desarrollo de la idea de tzimtzum o contracción. Luria se preguntó cómo era posible para el Ain Sof, el Dios oculto, crear algo desde la nada si no había ninguna nada para comenzar. Si el Ein Sof o el infinito está en todas partes, entonces ¿cómo podemos ser distintos del Ain Sof? Luria explicó que la creación fue solo posible porque una contracción en el Ein Sof creó un vacío donde Dios no estaba, que el Ain Sof eligió limitarse a sí mismo por un repliegue, y esto manifestó que el principio de limitación propia era un precursor necesario de la creación. No sólo explicó esto por qué la Creación está separada del Dios oculto, sino que enfatizó que el principio de limitación era inherente en la creación desde el comienzo. 

Los lazos y nudos

   A. K. Coomaraswamy ha expresado en su artículo “The Iconography of Dürer’s ‘Knots’ and Leonardo’s ‘Concatenation’”   la significación simbólica de ciertos “nudos” que se encuentran entre los grabados de Alberto Durero; tales “nudos” son muy complicados entrelazamientos formados por el trazado de una línea continua, y el conjunto se dispone en una figura circular; en varios casos, el nombre de Durero aparece inscripto en el centro. 

        Esos “nudos” han sido relacionados con una figura similar atribuida generalmente a Leonardo de Vinci, y en cuyo centro se leen las palabras: Academia Leonardi Vinci; algunos han querido ver en ellas la “signatura colectiva” de una “Academia” esotérica, como existían en cierto número en la Italia de la época.   Es  importante advertir que se trata de líneas sin solución de continuidad; los laberintos de las iglesias, igualmente, podían recorrerse de extremo a extremo sin encontrar en ninguna parte punto de interrupción ninguno que obligara a detenerse o a rehacer el camino, de modo que constituían en realidad una vía muy larga que debía cumplirse enteramente antes de llegar al centro.

      En ciertos casos, como en Amiens, el “maestro de obra” se había hecho representar en la parte central, así como Vinci y Durero inscribían en ella sus nombres; se situaban así simbólicamente en una “Tierra Santa”, es decir, en un lugar reservado a los “elegidos”. 

En un sentido más “interior” y profundo de este simbolismo el ser que recorre el laberinto o cualquier otra figuración equivalente llega finalmente a encontrar así el “lugar central”, es decir, su propio centro.   

La significación esencial y propiamente metafísica del simbolismo del hilo está siempre presente la representación del sûtrâtmtâ, el hilo único. El cual es el que  vincula todos los estados de existencia entre sí y con su Principio, como vemos aquí  lo esencial es que se trata siempre de una línea sin solución de continuidad.   

      Así el hilo o su equivalente puede replegarse sobre sí mismo formando entrelazamientos o nudos; y, en la estructura del conjunto, cada uno de esos nudos representa el punto en que actúan las fuerzas que determinan la condensación y la cohesión de un “agregado” correspondiente a tal o cual estado de manifestación, de modo que, podría decirse, ese nudo mantiene al ser en el estado de que se trata.  Ello se expresa, por un término como el de “nudo vital”. El hecho de que los nudos referidos a estados diferentes figuren todos a la vez en el trazado simbólico responde al punto de vista desde el cual todos los estados se consideran en simultaneidad, punto de vista siempre más principial que el de la sucesión. 

     Mircea Eliade ha hablado de la “ambivalencia” del simbolismo de las ligaduras y los nudos,  En primer lugar, cabe advertir a este respecto que una ligadura puede considerarse como lo que encadena o como lo que une, e inclusive en el lenguaje ordinario la palabra tiene generalmente ambos significados.  En el simbolismo de las ligaduras, corresponde a ello dos puntos de vista que podrían decirse mutuamente inversos, y, si el más inmediatamente aparente de los dos es el que hace de la ligadura una traba, ello se debe a que ese punto de vista es en suma el del ser manifestado como tal, en cuanto se ve a sí mismo como “atado” a ciertas condiciones especiales de existencia y como encerrado por ellas en los límites de su estado contingente. 

     Desde este mismo punto de vista, el sentido del nudo es como un refuerzo del de la ligadura en general, pues, según antes decíamos, el nudo representa con más propiedad lo que fija al ser en tal o cual estado; y la porción de ligadura por la cual el nudo está formado es, podría decirse, lo único de ella que puede ver el ser mientras sea incapaz de salir de los límites de ese estado, escapándosele entonces necesariamente la conexión que esa ligadura establece con los estados restantes. 

El otro punto de vista puede calificarse de verdaderamente universal, pues abarca la totalidad de los estados, y para comprenderlo basta remitirse a la. noción del sûtrâtmâ: la ligadura, considerada. entonces en su extensión total, es lo que los une, no solo entre sí, sino también con su Principio mismo, de manera que, muy lejos de seguir siendo una traba, se convierte, al contrario, en el medio por el cual el ser puede alcanzar efectivamente su Principio, y en la vía misma que lo conduce a esa meta. En tal caso, el hilo o la cuerda tiene un valor propiamente “axial”, y el ascenso por una cuerda tendida verticalmente, al igual que el de un árbol o un mástil, puede representar el proceso de retorno al Principio.