sábado, 27 de octubre de 2012

Empaquetamiento de esferas y los números


Empaquetamiento de Esferas

Sir Walter Raleigh (1554-1618), aventurero y escritor inglés, fue un personaje singular, que participó en expediciones de piratería contra las posesiones españolas, fundó la primera colonia inglesa en Norteamérica, luchó contra la Armada Invencible española y buscó, infructuosamente, la fuente de la juventud en la legendaria ciudad de El Dorado.


W. Raleigh
 
 En el año 1585, en una expedición que partió del puerto de Plymouth rumbo a Virginia, con el objetivo de establecer allí esa primera colonia británica.  Sir Walter Raleigh acuciado por la falta de espacio en el barco, preguntó a su ayudante, el matemático y astrónomo Thomas Harriot, si conocía algún método sencillo para calcular cuántas balas de cañón se pueden apilar en la cubierta de un barco.

Thomas Harriot

La pregunta, en términos matemáticos sería: ¿Cuál es el empaquetamiento más denso posible para un conjunto de esferas?.
Harriot fue incapaz de encontrar una respuesta matemática y pasó la consulta al gran astrónomo alemán Johannes Kepler. Kepler, en 1611, le contestó, pero no en forma matemática, sino afirmando que al igual que los fruteros colocan sus frutas, la sabiduría centenaria indicaba que el sistema más adecuado era el del apilamiento en forma de pirámide, declarando que esta técnica de empaquetamiento era la más prieta, y ninguna otra forma de apilar perdigones en un contenedor permite empaquetar más. Esta afirmación acabó por ser conocida como la conjetura de Kepler, también conocida como empaquetamiento cúbico centrado en las caras.

J. Kepler

          Según la conjetura de Kepler, la densidad de un empaquetamiento de un conjunto de esferas nunca excede de un número máximo. Este, indudablemente, es un problema apasionante de resolver en nuestra era de la Información, ya que guarda relación con las soluciones para guardar información en discos compactos o para comprimir información que haya de ser transmitida posteriormente.

C. F. Gauss

 A este tema le dedicaron tiempo y reflexión el matemático Carl Friedrich Gauss, Laszlo Toth y más recientemente Thomas Hales. 
 el matemático húngaro László Fejes Tóth introdujo una novedad importante al dividir el volumen que ocupaba una distribución de esferas en las llamadas celdas de Voronoi. Es decir, le asignó a cada esfera de la distribución una región del espacio formada por los puntos que están más cerca del centro de esa esfera que de ninguna otra. Por ejemplo, en el caso de la red cúbica centrada, la celda de Voronoi resultó ser un dodecaedro rómbico. 


Thomas Hales, matemático de la Universidad de Pittsburgh, tras recurrir a potentes ordenadores y programas informáticos, anunció a sus colegas que tenía la prueba de la conjetura propuesta en 1611 por el astrónomo Johannes Keppler sobre el empaquetamiento de esferas.

T. Hales

      Este problema, tiene una apariencia simple, pero ha derrotado los esfuerzos de los matemáticos durante casi cuatro siglos.   La conjetura de Kepler era ya a comienzos del siglo XX lo suficientemente importante como para que David Hilbert la incluyera en su lista de los 23 grandes problemas por resolver.

Consideraciones sobre la estructura geométrica y la cualidad de sus números.

  En el empaquetamiento se esferas nos permite deducir sus implicaciones desde el punto de vista del simbolismo geométrico.


Así podemos corroborar que a una esfera le pueden rodear, como máximo, solo doce esferas tangentes a la misma. Este empaquetamiento, como hemos analizado, tiene la cualidad de ser el más perfecto desde el punto de vista geométrico. A su vez estas doce esferas tangentes a la esfera central son tangentes a una esfera que las circunscribe y que tiene un radio tres veces mayor.

Podemos suponer que esta estructura física y geométrica, está apoyada la composición sagrada de la Iglesia fundada sobre Jesucristo y sus doce apóstoles.


 Encontramos una semejanza en la tradición hebrea, pues dice que la palabra "amor" se dice Ahabah y la palabra para uno se dice "Ehad".   Es reconocido que el valor numérico de Ahabah, tanto como de Ehad es 13. De tal manera que  y si sumamos los valores de estas dos palabras que definen a Dios como Único y como Amor nos resultará el número 26 que
corresponde al valor numérico de Jehovah.


Si observamos las operaciones que aparecen en el dibujo podemos ver que el espacio entre la esfera central y la esfera que circunscribe a las doce tangentes a esta, responde al valor de 26 si tomamos como unidad de medida el volumen de la central.
Se podría decir que Cristo corresponde a la esfera central, que toma contacto con doce esferas y estas doce a su vez toman contacto con otra que las circunscribe, y que tiene un radio tres veces mayor.


En los comentarios sobre el "Cantar de los Cantares", traducido por Mario Satz, este comenta que la palabra racimo o "eskhol" estaba relacionada con la idea fraternidad y la fidelidad del grupo, además de significar "fuego de la totalidad".
Es decir, una pluralidad que necesita ser estrujada para devenir uno. De
alguna manera el racimo geométrico más perfecto que rodea a la "uva" o
esfera central es el formado por las que la circunscriben.


Si continuamos añadiendo esferas a estas 12, conservando el orden y permitiendo que mantengan la propiedad de tangencialidad a estas 12 esferas, podemos comprobar que la tercera capa de esferas es la formada por 42 esferas.
Es curioso constatar esta propiedad geométrica del número 42 representado de diferentes formas en La Basílica del Pilar de Zaragoza, de alguna manera tiene unas propiedades geométricas que lo hacen excepcional.

       En el dibujo adjunto se puede ver una figura geométrica que cuantifica las 42 esferas de un empaquetamiento perfecto de las mismas

Otro comentario adicional es que el número 26, que corresponde al valor numérico de Jehovah, tiene la propiedad única entre todos los números de estar entre un número cúbico como el 27, que es tres al cubo, y un número cuadrado como el 25, que es cinco al cuadrado. Este descubrimiento lo hizo Fermat, que dijo textualmente.."El número 26 es un número único en todo el universo matemático"
Fermat 

Para interpretar geométricamente la teoría kabalística de Isaac Luria, este diagrama parece idóneo. Este autor  introdujo un nuevo elemento a la noción del Abismo con su nuevo desarrollo de la idea de tzimtzum o contracción. Luria se preguntó cómo era posible para el Ain Sof, el Dios oculto, crear algo desde la nada si no había ninguna nada para comenzar. Si el Ein Sof o el infinito está en todas partes, entonces ¿cómo podemos ser distintos del Ain Sof? Luria explicó que la creación fue solo posible porque una contracción en el Ein Sof creó un vacío donde Dios no estaba, que el Ain Sof eligió limitarse a sí mismo por un repliegue, y esto manifestó que el principio de limitación propia era un precursor necesario de la creación. No sólo explicó esto por qué la Creación está separada del Dios oculto, sino que enfatizó que el principio de limitación era inherente en la creación desde el comienzo. 



4 comentarios:

  1. Estimado Jose Manuel Chamorro
    Me resulta de mucho interes su texto "EMPAQUETAMIENTO DE ESFERAS" con estas aproximaciones a un cierto simbolismo relacionado con conjeturas de Kepler. A lo que añade la reflexión del matemático Carl Friedrich Gauss, Laszlo Toth y más recientemente Thomas Hales.
    Se lo agradezco porque contribuye a iluminar nuevas perspectivas de desarrollo a mi Artículo de Investigación publicado en Nomadas UCM de la Universidad Complutense:
    - VÁSQUEZ ROCCA, Adolfo,  "SLOTERDIJK, HEIDEGGER Y JEAN-LUC NANCY: ESFERAS, ARQUEOLOGÍA DE LO ÍNTIMO, MORFOLOGÍA DEL ESPACIO COMPARTIDO E HISTORIA DE LA FASCINACIÓN DE PROXIMIDAD", En NÓMADAS, Revista Crítica de Ciencias Sociales y Jurídicas - Universidad Complutense de Madrid, NÓMADAS. 32 -   Julio-Diciembre. 2011 (II),  pp.  [100-139]
    http://www.ucm.es/info/nomadas/32/adolfovasquezrocca.pdf
    Saludor cordiales
    Adolfo Vásquez Rocca PHD.
    http://www.danoex.net/adolfovasquezrocca.html

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  2. Soy escultor y siempre me ha interesado el empaquetamiento de las esferas, aunque yo para mis esculturas lo que trabajo es con la intersección sustractiva de estas sobre un volumen dado. No era consciente de la numerologia que se podía deducir de todo esto, aunque a través de mi hermano que es matemático estaba algo al corriente de la complejidad del tema.
    Diego Canogar

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  3. Soy escultor y siempre me ha interesado el empaquetamiento de las esferas, aunque yo para mis esculturas lo que trabajo es con la intersección sustractiva de estas sobre un volumen dado. No era consciente de la numerologia que se podía deducir de todo esto, aunque a través de mi hermano que es matemático estaba algo al corriente de la complejidad del tema.
    Diego Canogar

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