Los Esconjuraderos

Esconjuradero de Guaso

Un esconjuradero es una pequeña construcción religiosa de origen medieval exclusiva del Pirineo, sobre todo aragonés, aunque también se pueden encontrar en algunos valles de Cataluña y el Pirineo Francés. Cumplia funciones a medio camino entre las antiguas tradiciones "chamánicas" y la religión católica.  

Unarre (Lérida)

esconjuradero es un edificio de solo un piso de alzado de un piso, que presentan planta cuadrada con tejado piramidal y que posee cuatro aberturas, una a cada punto cardinal, de manera que el oficiante y toda la comunidad estuviera en contacto con la atmosfera e irradiara más fácilmente su influencia entre las fuerza naturales.

Guaso

Una cruz sobre el tejado no solo invocaba la protección divina, demostrando ante los males que acuciaban su respaldo; de alguna manera era signo de que su función estaba inscrita dentro de la practica ortodoxa de la Iglesia.

Labuerda

Abierta a los cuatro puntos cardinales por arcos de medio punto, era usada como lugar para esconjurar o conjurar las tormentas, es decir, realizaban un ritual en el que se solicitaba el cese de las lluvias que tantos perjuicios traían a la agricultura.

Los esconjuraderos solían estar cerca de las iglesias católicas, especialmente las ermitas. El rito se basaba en unas plegarias a Santa Bárbara protectora de las tormentas, una rociada de agua bendita por parte del cura y algunas frases  tradicionales.

La fórmula de la que se tiene constancia decía:

“Boiretas en San Bizien y Labuerda: no apedregaráz cuando lleguéz t’Araguás: ¡zi! ¡zas!”

 Es de suponer que el el zi-zas último iba acompañado de sendos y enérgicos meneos con el hisopo del agua bendita.

    Actualmente, están en desuso, y algunos de ellos, han sido tragados por la naturaleza o por las aguas. (Burgasé o Mediano). Sin embargo el resto (Almazorre, El Pueyo de Araguás, Asín de Broto, Guaso y San Vicente de Labuerda) se encuentran en perfecto estado de conservación.

La historia nos cuenta que el inquisidor fray Martín de Castañega critica la proliferación de conjuradores que “juegan con la nube como con una pelota”, “procuran echar la nube fuera de su término y que caiga en el de su vecino” y afirman falsamente convertir el granizo en agua. A cambio recomienda,   que el pueblo se congregue junto al sacerdote, rece letanías y plante una cruz frente a la tormenta. En muchas iglesias y ermitas, como la de San Sebastián de Otaola, contaban con una campana que según la tradición antigua, ahuyenta las tormentas con su sonido.

He leido que a los esconjuraderos hay que ir en día despejado... no porque pongamos en duda su funcionamiento sino porque normalmente desde su situación podremos ver las vistas más hermosas...

Mediano

 Esta demostrado que estos ritos no protegían contra las tormentas provocadas por el hombre. Aquí mostramos un vestigio de como quedó el esconjuradero de Mediano tras ser inundado por la construcción del pantano tras una Real Orden del 18 de marzo de 1925  que aprobaba esta obra destinada a regar y fomentar la agricultura en la zona de los Monegros.  

Mediano

Sigmund Freud y la Odontología

En los últimos tiempos se han investigado las enfermedades de distintos personajes históricos  relevantes.  Así se han reconocido distintas patologías que  causaron un enorme sufrimien­to en distintos personajes históricos. Así se ha estudiado, por ejemplo, la enfermedad de Paganini (síndrome de Marfan), Renoir o Rubens (artri­tis reumatoidea), Chopin (tubercu­losis), Van Gogh (esquizofrenia) o Lord Byron (epilepsia). De la mis­ma forma, la Asociación Americana de Cirugía Oral y Maxilofacial  propuso la investigación de la historia clínica de Sigmund Freud, puesto que  fue determinante en vida y obra que padeciera un cáncer oral.

Sigismund Schlomo Freud nació el 23 de septiembre de 1856 en Pri­bor, una ciudad que en ese tiempo pertenecía al Imperio Austríaco, y que ahora forma parte de la Repú­blica Checa. Era el mayor de seis hermanos, producto del segundo matrimonio de su padre, Jacob, un trabajador muy humilde de la industria de la lana. Su padre, a pesar de su austeridad, intentó dar una educación académica a todos sus hijos.  Con determinación inscrbió a Sigmund en la Facultad de Medicina de la Universi­dad de Viena cuando contaba con 17 años de edad.  No es necesario decir que él creció y se educó en un ambiente familiar  impregnado de la religión judía.  A pesar de estos orígenes, hay indicios que  indican su renuncia a la tradición de sus antepasados, durante el transcurso de su carrera universitaria. De hecho, en todos los documentos oficiales elimina el nombre Schlomo (Salomón) y, por otra parte, destruye todos sus do­cumentos personales en dos oca­siones, en 1885 y en 1907. .  En este tiempo se  declara profundamente ateo.

 A lo largo de su carrera, que culmi­nó especializándose en Neurología, huyó de la explicación "orgánica" de las enfermedades y se orienta­ba en la explicación del papel que jugaba la mente en numerosas do­lencias. Ello era debido, en parte, a la influencia que sobre él tuvieron dos de sus grandes maestros: Jean ­Martin Charcot  y Josef Breuer.  A partir de ahí conceptos como inconsciente, yo, ello, superyo, com­plejo de Edipo, etapa fálica, teoría de la mente o interpretación de los sueños son algunos de los que desarrolló a lo largo de su vida, que supusieron una verdadera convulsión en su época y que han tenido una gran influencia en la psicología y psiquiatría contemporánea.

 

Siempre se trató de una per­sona muy culta, lectora de to­dos los autores clásicos, gran conversador y tertuliano y pro­lífico escritor.     Su influencia en determinados aspectos del arte ha sido im­portante. De hecho, personajes como Alfred Hitchcock, Luis Bu­ñuel, André Breton o Salvador Dalí reconocen la importancia de Sigmund Freud en su vida perso­nal o en su obra.

Está claro que sus teorías, tan­to en su tiempo como en la época, actual, han dividido a la comuni­dad científica. Por un lado, sus admiradores defienden la expli­cación de numerosas entidades y del supuesto éxito del tratamiento freu­diano en las mismas. Sin embar­go, sus detractores concentran sus críticas en la falta de rigor científico, en la obsesiva expli­cación de distintos cuadros a través de alteraciones mentales -la parálisis cerebral neonatal la entendió como un efecto de dis­tintas vivencias del feto- y en el hallazgo de numerosos estudios "fraudulentos" -como el escán­dalo del tratamiento de un noble ruso llamado Sergei Pankejeff denominado "el hombre de los lobos"-.

 Enfermedad estomatológica

En cuanto a la enfermedad de la cavidad oral de la que fue víc­tima Sigmund Freud, las prime­ras noticias datan del año 1917 -cuando él contaba con 61 años-, al notar el propio paciente una lesión inflamatoria y muy doloro­sa en el paladar. Él era un fuma­dor empedernido de cigarros pu­ros. Su marca preferida era Don Pedro. En la gran mayoría de sus retratos aparece en compañía de su puro encedido. De hecho en 1899, a la  edad de 33 años  aparece un problema cardiaco,  presumiblemen una angina o una arritmia.  Su médico internista, Wilhem Fleiss, le aconsejó reducir o eliminar el tabaco, vicio que en diferentes documentos lo calificaba como  "mi pecado".   En esta época  la respuesta a este consejo, reflejada en distintas biografías,  era: "Yo no voy a obedecer tu prohibición de fumar, ya que no sé realmente si sería  de provecho, Por otra parte mi vida sería muy miserable. Sin el tabaco no hubiera podido trabajar tan duro como lo he hecho. 

Curiosamente, la aparición de esa lesión oral en el año 1917 co­incidía con una época en la que él abandonó el hábito de fumar obligado por las restricciones que ocasionaba la Primera Gue­rra Mundial. De hecho, Sigmund Freud pensó que la causa de esta primera lesión, cómo no, era de índole psicológica de tal mane­ra que, según nuestro paciente, ésta desaparece al comenzar a fumar de nuevo. Es de suponer que la lesión permaneció "esta­ble" hasta febrero de 1923 donde comenzaron las molestias que anunciaban la ulcera­ción de la misma.

Tardó dos meses en pedir ayuda a Maxim Steiner, dermatólogo y amigo, y Felix Deutch, su médico de familia y también amigo. Él le dijo a Deutch "prepárate para ver algo que no te va a gustar". Ambos doctores llegaron al diag­nóstico clínico de cáncer avan­zado que se localizaba el paladar derecho. Pero ellos temieron, ante la aparición de ciertas tendencias suicidas de Freud, con­firmarle el diagnóstico y le anun­ciaron que sólo se trataba "de un mal caso de leucoplasia -lesión premaligna de la cavidad oral­ que requería una extirpación y una biopsia". Por contra, él se sintió traicionado por Deutch al no confesarle la verdad y evitó su contacto durante meses.

EN MANOS DE HAJEK

Por iniciativa propia, decidió pe­dir opinión al profesor de Laringo­logía de la Universidad de Viena Markus Hajek. Aquí empieza un capítulo desastroso en el trata­miento del cáncer oral de Freud. A pesar de la reputación que te­nía Hajek como el mejor otorri­nolaringólogo de Viena, Freud confiesa en la biografía de Ernest Jones -su biógrafo oficial- que aquél le producía un sentimiento contradictorio, puesto que no le gustaba el trato que dispensaba a sus pacientes. Con respecto a la preparación de Hajek, otro mé­dico y amigo de Freud, M. Schur, en la obra Freud: vida y muerte, afirmaba que "se trataba de un cirujano mediocre y no estaba cualificado para operar un carci­noma que necesitaba de una re­sección de maxilar superior". De hecho, el ascenso de Hajek en su vida profesional estuvo motivado por una serie de influencias que propiciaron su progresión y la eli­minación sistemática de todos los posibles competidores.

El hecho es que el 20 de abril de 1923, Deutch acompañó a Freud a la clínica privada ambu­latoria dirigida por Hajek para extirparle la lesión e inmediata­mente darle el alta hospitalaria. El análisis de la documentación permite conocer que la resección fue incompleta y que durante la intervención se produjo una he­morragia importante. Esta inter­vención fue realizada únicamen­te con anestesia local.

Desafortunadamente el hos­pital se encontraba lleno y, ante las vicisitudes acaecidas en el quirófano, se dejó a Freud en una habitación que tenía dos ca­millas con objeto de pasar la no­che. Esa habitación fue compar­tida con un paciente enano, sor­domudo y con un déficit mental importante. Sin embargo, este camarada fue el que le salvó la vida aquella noche. Durante la misma, parece que Freud sufrió una terrible hemorragia y fue su compañero, también interveni­do, el que fue buscando por todo el sanatorio a alguien que le pu­diera prestar ayuda. Localizó en una planta a una enfermera, la cual consiguió taponar la cavi­dad oral de Freud y así combatir la hemorragia. Hay pruebas que confirman que se avisó e informó a Markus Hajek del curso clíni­co del paciente y que él rehusó trasladarse a la clínica para ha­cerse cargo de su tratamiento.

Freud no hizo ningún comen­tario de esta intervención a na­die de su familia y fue su hija Anna quien se personó en la clínica a la mañana siguiente y encontró a su padre senta­do en una silla, aturdido y con toda (a ropa manchada de san­gre. Anna pidió explicaciones a Hajek y aunque él le recomen­dó el traslado al domicilio, ella se negó y pasaron otra noche en esa clínica.

El diagnóstico histológico fue el de "carcinoma de cé­lulas escamosas" y a partir de ahí Freud se refirió a ella como "mi querida neoplasia". Fue Hajek quien recomendó com­plementar el tratamiento con radioterapia, la cual fue apli­cada y dirigida por el profesor Guido Holzknecht. La radiote­rapia se realizó mediante la colocación, en la cavidad oral de Freud, de cápsulas de radio. Esta radioterapia interfirió con el proceso de cicatrización y le produjo un intenso dolor y un enorme trismus (incapacidad para abrir la boca). Ante la ex­periencia que había tenido con Hajek y la constatación de que aún presentaba lesión dentro de la cavidad oral, Deutch hizo que Freud fuera visto por otro cirujano, Hans Pichler.

Pichler era una persona muy bien formada. Realizó sus es­tudios en Viena y Praga y se trasladó a Chicago durante una época.  

Este pensó hacer el tratamiento en dos fases. En la primera, realizada el 4 de octubre de 1923, ligó la arte­ria carótida externa derecha y extirpó el ganglio linfático cervical que estaba aumenta­do de tamaño. El informe del anatomopatólogo confirmó que no había enfermedad tumoral en el ganglio linfático. Esta in­tervención se llevó a cabo con anestesia local y una sedación con la ayuda de un medicamen­to denominado Pantopón y el objeto de la misma era que una semana más tarde, el 11 de oc­tubre de 1923, se realizara una resección y extirpación del pa­ladar -la ligadura de la arteria carótida externa ocasionaría menor hemorragia durante esta intervención-. En la misma, y de forma novedosa, se empleó un aparato que hoy se encuentra en cualquier clínica, el bisturí eléctrico o electrobisturí.

Más adelante tuvo una recidiva y se le realizó otra intervención que consistió en una resección importante del maxilar superior y de la mandíbula. El defecto de conti­nuidad o la cavidad que quedó después de la extirpación se rellenó con un taponamiento de gasa y una prótesis deno­minada "obturador" y que pre­tendía separar la cavidad oral de la cavidad nasal. Pichler revisó a Freud a diario para cambiar el taponamiento y el 7 de noviembre de 1923 detectó una úlcera en el área interve­nida. Se trataba, de nuevo, de la aparición del cáncer que se confirmó mediante una biop­sia. El 12 de noviembre hizo una extirpación de esa lesión que aumentó la perforación del paladar y la conexión entre las cavidades nasal y oral. Que­dó con un defecto del maxi­lar superior que causó graves problemas para comer, hablar pero, según sus palabras, "so­bre todo para fumar".

Era tal el grado de deses­peración de su equipo médico que le aconsejan una técnica que en aquel tiempo se aconsejaba para aumentar el vigor general y las defensas frente a la enfermedad. Se trataba de la técnica de Steinach, que consistía en la ligadura o sección de los vasos deferentes testiculares. Evidentemente el efecto esperado "rejuvenecimiento” y mejoría del paciente no se produjeron.

El obturador que se colocó en la cavidad oral ocupó un lugar fundamental en el curso clínico de Freud. El lo denominaba como " el monstruo o mal necesario". Siempre le molestó mucho y tuvieron que realizarle muchísimas modificaciones a medida que iba cicatrizando y  cambiando la cavidad que se había producido en la boca. La extracción y colocación del obturador solamente podía ser realizado por su querida hija Anna. Incluso se desplazaron a Berlín para que un famoso dentista de su época, el profesor Schroeder, construyera un nuevo aparato obturador con una mezcla de caucho duro y oro denominado vulcanita.

Durante tres años, hasta 1931, toleró muy bien este aparato, pero comenzó de quejarse de las molestias que  este le producía. En ese tiempo dos buenas amigas suyas Ruth Mack Brunswich  y María Bonaparte se enteraron que un famoso cirujano oral de la Universidad de Harvard, el profesor Varastad Kazanjian, acudiría a una reunión profesional en Berlín. Estas dos personas se acercaron al hotel y rogaron a Kazanjian que atendiera a Freud con objeto de fabricarle una nueva prótesis obturadora. En principio Kazanjian no aceptó el trabajo, pero Brunswich como María Bonaparte contactaron con el padre de Kazanjian –mienbro del Consejo de la Universidad de Harvard- para que convenciera a su hijo de que atendiera Freud. Kazanjian acepto el trabajo y pide hacerlo en la consulta de Píchler, tardando tres semanas en construir la ansiada prótesis por la que cobró 6.000 dólares. Freud, aunque molesto por el dolor, se sentía más a gusto con este tipo de prótesis y se refiere a Kazan­jian como "un mago reservado y tímido con una sonrisa como la de Charlie Chaplin".

RETIRADA A LONDRES

En 1934 aparece una nueva le­sión -no se sabe si era maligna ­que es tratada con radiotera­pia. La misma fue aplicada me­diante una prótesis dental que llevaba radio -material radio­activo-. En 1936 se confirma la aparición de una nueva lesión maligna y es tratada mediante una intervención con anestesia general. Freud afirmó que es­taba "gratamente impresiona­do por este procedimiento".

Ese mismo año llegan los nazis a Viena y, aunque él se declaraba abiertamente ateo, seguía teniendo mucha re­lación con toda la población judía de esta ciudad. Fue en­tonces cuando él se preguntó: "¿Dónde puedo ir yo en mi ac­tual situación de dependen­cia e impotencia física?". Él se sentía muy seguro junto a

Pichler, pero el arresto tem­poral de su hija Anna por los nazis le convenció de que lo mejor era trasladarse. Acep­tó el ofrecimiento de su hijo Ernst, ya afincado en Londres, y el traslado fue planeado y ayudado por María Bonaparte. Su amigo Schur fue quien le acompañó a Londres donde se establecieron en Swiss Cottage -donde está ubicada la casa museo de Freud-.

Pichler encargó el seguimien­to y cuidado de Freud a una serie de cirujanos orales ingle­ses. No obstante, apareció una nueva lesión y fue Pichler quien se trasladó a Londres para rea­lizar una nueva intervención donde, además, recomendó de nuevo radioterapia. El año 1939 fue muy duro para Freud como consecuencia de la mala calidad de vida y los fuertes dolores que sufría. De hecho, está confirmada la utilización de cocaína -terapia que apren­dió de su maestro Breuer- para combatir estos dolores.

Todas las intervenciones fi­nalmente produjeron un défi­cit estético caracterizado por un hundimiento de la hemicara derecha. Pero el hecho que precipitó los acontecimientos fue la perforación y la gangre­na de la piel del lado derecho de la cara. Ello produjo, apar­te del dolor, un olor nausea­bundo en su habitación de tal manera que su perro no quería entrar en la misma e, inclu­so, se instaló una cámara con mosquitero alrededor para evi­tar la molestia que producía la gran cantidad de insectos que acudían.

En una conversación man­tenida con Schur, en 1938, le hizo prometer a éste que no le dejara sufrir al final de su vida y, de hecho, el 22 de sep­tiembre de 1939 le comentó "mi querido Schur, tienes que recordar tu promesa de no abandonarme ni traicionarme cuando mi tiempo se acabe. Actualmente esta tortura no tiene ningún sentido". Schur personalmente administró 200 mg de morfina y,12 horas más tarde, otros 200 mg. Freud evolucionó hacia el coma y murió a las tres del 23 de sep­tiembre de 1939.

Durante estos 16 años de enfermedad Freud sufrió 33 in­tervenciones. Aquí se han des­crito las más importantes. Este relato está basado en las notas taquigráficas de Pichler, tomadas por Florencio Monje.

El editor en el diván de S. Freud de su casa museo de Londres.

  

La Crucifixión de Juan de Flandes

 La Crucifixión de JUAN DE FLANDES (1456-1519), pertenece  a los principios del Renacimiento español. Esta tabla tiene un tamaño de 123 cm × 169 cm.  y forma parte del retablo de la catedral de Palencia, que hoy podemos  verlo en el Museo del Prado.

   Cristo ha muerto y las tinieblas cubren el sol. A su alrededor en semicírculo, la Virgen, San Juan, las Marías y Magdalena completan el semicírculo, un lancero de espaldas.    Como detalle curioso resaltamos un sol obscuro y la luna.  Estos astros parecen  siempre representados en la escena de la Crucifixión a la derecha e izquierda de la cruz. En la narración de Lucas 23, 44 leemos:"..era la hora sexta y las tinieblas cubrieron la tierra hasta la hora nona oscureciéndose el sol y el velo del templo se rasgó"... 

Bajo la Cruz la calavera, según la tradición Adán fue enterrado en el Gólgota y simboliza la redención total de la humanidad pecadora.  Las piedras preciosas evocan el Paraiso y el trozo de coral rojo simboliza la sangre de Cristo.  

  

  El tamaño de la tabla hace que la calavera de Adán tenga un tamaño de 10 cm. En el detalle de esta podemos observar que presenta unas piezas dentales abrasionadas y careadas, además de una corona de oro sobre el canino izquierdo. Sobre el parietal izquierdo podemos ver un pequeño orificio de desconocido significado.

 Debemos suponer que fue una consecuencia del fatídico mordisco a la manzana.

Tras unas rocas se asoma el cráneo de Eva con un aspecto que nos recuerda a los cráneos de los supuestos antecesores del hombre. ¿Era, Juan de Flandes, un predecesor de las teorías de Darwin?

P.D. Para los excesivamente crédulos, estas últimas notas son una broma.. A la manera de "El hombre de Piltdown", ese fraude científico que se dió tras dar a conocer Charles Darwin en 1859 su famosa teoría de la evolución.   El geólogo aficionado, Charles Dawson, presentó un cráneo del que aseguraba que era "el eslabón perdido entre el simio y el hombre". Sin embargo, se descubrió más tarde que el "Hombre de Piltdown", como se le llegó a conocer al haber sido encontrado supuestamente en dicha zona de Inglaterra, no era más que un cráneo humano actual pulido hasta haberle dado una forma simiesca.

George Washington. Particularidades de la historia de un caso clínico odontológico

George Washington fue en un momento u otro tratado por la mayoría de los dentistas que ejercieron en varias localidades de las colonias y de la Federación Americana, entre ellos Benjamin Fendall (que, según los documentos, también hizo una prótesis parcial de Martha Washington) , John Baker, un Spencer, el Sr. Jean Pierre LeMayeur, Jacques Gardette, Andrew Spence, Whitlock Edward, y John Greenwood. En una ocasión, Washington se vio obligado incluso a tener necesidad de los servicios del “físico”, James Craik, que le extrajo una muela debido al dolor insoportable que padecía.

Retrato de G. Wsahington de Charles Wilson Peale

  Durante toda su vida adulta, el padre de su país, estuvo afectado por los dolores de muelas. A los cuarenta y siete años, cuando posó para ser retratado por el pintor Charles Willson Peale, su rostro tenía una cicatriz notoria en la mejilla como consecuencia de una fístula, que se había desarrollado probablemente debido a un absceso dental. Cicatriz que se puede imaginar en la figura adjunta.

Detalle del retrato de G. Washington realizado por Ch. W. Peale. Con la cicatriz de la fístula dentaria.

   
 Es oportuno apuntar que este pintor, Peale, que coqueteaba con muchas vocaciones, a la vez probó suerte en la fabricación prótesis de porcelana.

Los diarios de Washington contienen numerosas referencias a episodios de dolor de muelas, y generales. A medida que envejecía, Washington perdió un diente tras otro hasta que, en 1790, en el momento de su toma de posesión como presidente, sólo tenía un premolar inferior izquierdo.

Retrato de G. Washington de Gilbert Stuart

Su correspondencia y la de su esposa son una letanía de problemas dentales continuos, y algunos contienen peticiones singulares. Mientras dirigía el ejército continental en Newburgh, en 1783, Washington le escribió al dentista John Baker, pidiéndole información de cómo utilizar los materiales “yeso de París” para realizar modelos de su boca para confeccionar una dentadura. "


En 1799 su esposa Martha escribió con bastante urgencia desde Filadelfia a su dentista, diciendo que estaría "muy agradecida al señor E. Whitlock por hacerle una dentadura, algo más grande y más gruesa en la parte frontal .... Ella estará muy contenta si él las realiza con prontitud, porque la que ella tiene están casi rotas. "

Retrato del dentista de G. Washington Wil Lovett

John Greenwood realizó cuatro series de prótesis para George Washington, fabricadas de una variedad de materiales como el oro, colmillos de hipopótamo, marfil de elefante y dientes humanos Como en la figura adyacente. Contrariamente al dicho popular, Washington no tenía los dientes de madera.

Una de las dentaduras que llevaba era muy pequeña, y cuando Gilbert Stuart se dispuso a pintar el retrato del presidente, se encontró una cara tan hundida que se vio obligado a conformar los labios y las mejillas con algodón hidrófilo, con la esperanza de darle un aspecto más normal. Desafortunadamente, el rostro de Washington aparece como consumido, resaltando una apariencia de anciano prematuro, carácter en marcado contraste con sus retratos como un hombre joven y vigoroso, poseedor de una propia y voluntariosa dentadura.

En 1798, Washington escribió al dentista Greenwood, comentándole que las prótesis que había hecho para él, estaban cambiando los dientes de color, Greenwood le aconsejó que las manchas eran "ocasionadas por beber vino de Oporto. Los ácidos de este le quitan todo el esmalte ... Yo le aconsejo que cualquier dentadura que use, se la quite después de las bebidas y las ponga en agua limpia y se coloque la de repuesto, o que las limpie con un cepillo y una tiza, raspándola con delicadeza ".

Para el retrato de George Washington 1796, después de haber perdido todos sus dientes, Gilbert Stuart realizó una conformación de los labios y mejillas mediante algodón absorbente. Así el presidente parecia tener la boca con un aspecto más natural. Detalle de una pintura del Museo de Bellas Artes de Boston, y del Portrait Gallery, Smithsonian Institution, Washington, DC

Dentadura de G. Washington, realizada por John Greenwood

Última prótesis dental de George Washington, esta fue hecha para él por John Greenwood. El paladar fue estampado con una lámina de oro, y los dientes de marfil estaban clavados en ella. La dentadura inferior consta de un solo bloque tallado de marfil. Los dos prótesis se mantienen unidas por muelles de acero. Museo Nacional de Historia Americana, Smithsonian Institution, Washington, DC

 George Washington, con el aspecto que podría tener sin el "maquillaje" de algodón.

He retocado este retrato de G. Washington para conformar su rostro al estado que presumiblemente podía mostrar.

El Teorema de Pitágoras en Babilonia

  Los números babilonios

Su escritura está basada en símbolos escritos en tablas de arcilla mojada cocidas al sol. Miles de estas tablillas han sobrevivido hasta nuestros días. Gracias a ello, se ha podido conocer, entre otras cosas, gran parte de las matemáticas babilónicas. El uso de una arcilla blanda condujo a la utilización de símbolos cuneiformes sin líneas curvas.  

 Es destacable las habilidades de los cálculos de los babilonios  mediante la construcción de tablas para ayudar a calcular.

De las tablillas babilónicas, unas 300 se relacionan con las matemáticas, unas 200 son tablas de varios tipos: de multiplicar, de recíprocos, de cuadrados, de cubos, etc.

 En geometría conocían el Teorema de Pitágoras y las propiedades de los triángulos semejantes; en álgebra hay problemas de segundo , tercero e incluso de cuarto grado. También resolvían sistemas de ecuaciones.

Los babilonios fueron los pioneros en el sistema de medición del tiempo; introdujeron el sistema sexagesimal y lo hicieron dividiendo el día en 24 horas, cada hora en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. Esta forma de contar ha sobrevivido hasta nuestros días.

Tablilla Plimpton

El sistema de numeración Babilónico tuvo una gran desventaja debido a la falta de un cero. Para poder interpretar números en los que se hallaba el cero, como el 3601, debía guiarse según el contexto en que éste se encontraba.

  Los textos cuneiformes matemáticos babilónicos permanecieron sin descifrar y sin interpretar hasta el trabajo pionero de Otto Neugebauer, quién escribió su obra Mathematische Keilsschrift-Texte (1935-37), y de François Thureau-Dangin en su obra Textes mathématiques Babyloniens en 1938. El logro más sobresaliente de las matemáticas babilónicas fue la invención de un sistema de numeración de base 60 y con valor posicional. 

Con un sistema de numeración posicional a su disposición, las operaciones aritméticas con los números babilónicos se desarrolla­rían siguiendo las mismas líneas de la moderna aritmética. Para aliviar  las dificultades de largos cálculos, los babilonios utilizaron  tablas matemáticas. Entre éstas se incluían tablas para calcu­lar inversos, cuadrados, cubos, raíces cuadradas y cúbicas, así como tablas de potencias e incluso tablas de valores de n² + n³, de las que no existen equivalentes modernos. Estas tablas suponen una parte sustancial de las fuentes de las matemáticas babilónicas de que disponemos.

La multiplicación y la división se hacían en gran medida como las  hacemos hoy. La división se trataba como la multiplicación del dividendo por el inverso del divisor (obtenido a partir de una tabla de inversos). Tomemos un ejemplo:

EJEMPLO 1º. Dividir 1.029 entre 64 

Solución: En la notación de Neugebauer, 1.029 = 601(17) + 60°(9) se escribe como 17,9. También, 1/64 se convierte en 0;0,56,15 (ya que 1/64 = 60-2(56) + 60-3(15), sacados de una tabla de inversos). Por tanto,

17,9 multiplicado por 0;0,56,15 es igual a 16;4,41,15

La larga multiplicación se efectúa de la misma manera que lo haríamos hoy, aparte del uso de la base sexagesimal:

0; 0,56,15

       17, 9

------------------

8,26,15

15;56,15

------------------

      16; 4,41,15

La respuesta 16;4,41,15 se puede convertir, en base decimal, en:

16 + 60^-1(4) + 60^-2 (41)+60^{3 -}(15)  = 16,0781

Se disponía de un conjunto completo de tablas de multiplicación sexagesimal para cada número del 2 al 20, y para el 30, 40 y 50. Esto sería suficiente para efectuar todas las multiplicaciones sexagesimales posibles, exactamente igual que las actuales tablas de multiplicación para los números del 2 al 10 son suficientes para todos los productos decimales. Con frecuencia, las tablas de inversos sólo estaban dispo­nibles para aquellos números enteros «regulares» hasta 81 que son múltiplos de 2, 3 ó 5. Los inversos de los números «irregulares», o los que contienen números primos que no son factores de 60 (esto es, todos los números primos excepto 2, 3 y 5), habrían sido, en efecto, fracciones sexagesimales infinitas. Por ejemplo, los inversos de los números «regulares» 15, 40, y 81 son

1/15 = 0;4,  1/40 = 0;1,30,  1/81 = 0;0,44,26,40 Los inversos de los números «irregulares» 7 y 11 son

1/7 = 0;8,34,17,8,34,17,...,  1/11 = 0;5,27,16,21,49,...

Las tablas de los inversos encontrados en las tablillas más antiguas son todas de números «regulares», a excepción de 7. Hay una tablilla del período inmediatamente anterior al Imperio Antiguo babilónico, que contiene el problema siguiente:

EJEMPLO 2º.  Dividir 5,20,0,0, por 7

Solución sugerida: Multiplicar 5,20,0,0 por el inverso de 7 (esto es, 0;8,34,17,8) obteniéndose la respuesta: 45,42,51;22,40.

Una tablilla posterior del período seleúcida da los límites superior e inferior de la magnitud de 1/7 como

0;8,34,16,59 < 1/7 < 0;8,34,18

Enunciados como «aproximación dada, puesto que 7 no divide» de los primeros períodos, y las estimaciones posteriores de los límites, nos dan una visión tentadora de los babilonios dando los primeros pasos (aunque no está claro que fueran plenamente cons­cientes de sus implicaciones) para lidiar el problema de la inconmen­surabilidad de ciertos números.

Añado un  ejemplo babilónico de como el número babilónico 2, 27 al cuadrado es igual a  6, 0, 9 en cifras babilónicas.

2x60 + 27 = 147

147² =  21609 

(60x60) x 6 + 0 x 60 + 9 = 3600 x 6 + 0 + 9 = 21609

  Un cálculo maestro de los babilonios

Existen pruebas de que los babilonios estaban preparados para calcular con números irracionales en una pequeña tablilla perte­neciente al Imperio Antiguo babilónico, que forma parte de la colec­ción de la Universidad de Yale. Contiene el diagrama que se muestra en la figura  siguiente «traducida» en la figura b.

El número 30 indica la longitud del lado del cuadrado. De los otros dos números, el superior (si suponemos que la «coma sexagesimal» (;) ocurre entre 1 y 24 es 1;24,51,10, que en notación decimal es

1 + 60^{- 1}(24) + 60^-2 (51) + 60^-3(10)  = 1 + 0,4 + 0,01416667 + 0,0000463= 1,41421297

Para el mismo número de cifras decimales, la raíz cuadrada de 2 es 1,41421356, de modo que el cálculo babilónico es correcto hasta cinco cifras decimales. Se aprecia fácilmente que el número inferior es el producto de 30 (lado del cuadrado) y la raíz cuadrada calculada de 2.

La interpretación ahora está clara. Sea d la diagonal del cuadra­do; aplicando a continuación el teorema de Pitágoras, tenemos:

d² = 30² + 30²

d =      raiz²de 2  (30)  = (1;24,51,10)(30) = 42;25,35

El número debajo de la diagonal es, por consiguiente, la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado es 30.

La solución de este problema subraya dos importantes rasgos de las matemáticas babilónicas. En primer lugar, unos mil años antes de Pitágoras, los babilonios conocían y utilizaban el resultado que hoy lleva su nombre.   En segundo lugar, está la cuestión curiosa de cómo los babilonios llegaron a su notable cálculo de la raíz cuadrada de 2, un cálculo que aún estaría en uso dos mil años después de su descubri­miento cuando Tolomeo construyó su tabla de cuerdas.

Una conjetura es que el método que utilizaron los babilonios para extraer raíces cuadradas se asemeja al procedimiento iterativo que usan las modernas computadoras dígitales.